Soient a,b,c appartenant à R+*

1 -
On doit démontrer que =

a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3/2 >= 2(a+b+c).#####Inégalité (1)

<=>

2 (a^2)+ 2 (b^2)+ 2 (c^2) + 2ab + 2bc + 2ac + 3 >= 4 (a+b+c)

<=>

[(a^2)+ (b^2)+1+ 2ab - 2a -2b] + [(c^2) + (b^2)+1+ 2bc -2b-2c] + [(c^2)+ (a^2) +1 +2ac -2a -2c] >= 0

<=>

(a+b-1)^2 + (b+c-1)^2 + (a+c-1)^2 >=0 ###########Inégalité (2)

Puisque la dernière proposition est vraie alors la première l'est aussi à cause du raisonnement par équivalence.


2 -

Pour avoir un cas d'égalité dans l'inégalité (1), cela revient à un cas d'égalité dans l'inégalité (2). Et cela implique que =

(a+b-1)^2 = 0
et
(b+c-1)^2 = 0
et
(a+c-1)^2 = 0


[car la somme de nombres positifs ne peut être nulle que si tous les nombres sont nulles]

a+b-1=0 (En résolvant ce système on obtient)
b+c-1=0 } <=> a = 1/2, b=1/2, c=1/2
a+c-1=0
FIN EXO.